Menentukan FPB dan KPK dari dua bilangan

Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF)

Cara sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

• Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
• Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
• FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Mencari:

• Faktor dari 15 = 1, 3, 5', dan 15
• Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25
• FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

Cara faktorial

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

• Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

              147         189             231
              /\          /\              /\
             3 49        3  63           3  77
               /\           /\              /\
              7  7         7  9            7  11
                              /\
                             3  3

• Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 147 = 3¹ x 7²

Faktorial 189 = 3³ x 7¹

Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

• Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.

• Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3¹ x 7¹ = 21.

• Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

kelipatan persekutuan terkecil (KPK

Dalam aritmetika dan teori bilangan, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris KPK dikenal dengan Least Common Multiple (LCM), sering dijuga disebut sebagai Lowest Common Multiple (LCM) atau Smallest Common Multiple (SCM),

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Mencari KPK dari 12 dan 20:

• Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...
• Kelipatan dari 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...
• KPK dari 12 dan 20 adalah kelipatan sekutu (sama) yang terkecil, yaitu 60.

Cara faktorial

Mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231:

• Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

      147    189     231
       /\     /\      /\
      3 49   3 63    3 77
        /\     /\      /\
       7  7   7  9    7 11
                 /\
                3  3

• Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorialnya.

Faktorial 147 = 3¹ x 7²

Faktorial 189 = 3³ x 7¹

Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

• Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini '3³, 7² dan 11¹.

• Kalikan faktor-faktor tersebut: 3³ x 7² x 11¹ = 14553.

• Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231

SOAL – SOAL DAN PENYELESAIAN MENENTUKAN FPB DAN KPK DARI DUA BILANGAN

1. Tentukan KPK dan FPB dari 72 dan 90.

Penyelesaian:

Faktorisasi prima dari 72 adalah 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32

Faktorisasi prima dari 90 adalah 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33

FPB dari 72 dan 90 adalah 2

KPK dari 72 dan 90 adalah 23 x 33 = 8 x 27 = 216

2. Tentukan KPK dan FPB dari 40 dan 60.

Penyelesaian:

Faktorisasi prima dari 40 adalah 2 x 2 x 2 x 5 = 23 x 5

Faktorisasi prima dari 60 adalah 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5

FPB dari 40 dan 60 adalah 22 = 4

KPK dari 40 dan 60 adalah 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120

3. Jadwal latihan tiga tim bola voli untuk bermain di lapangan yang sama adalah tim pertama 4 hari sekali, tim kedua latihan 5 hari sekali dan tim ketiga 6 hari sekali. Jika tanggal 1 Desember 2000 ketiga tim mengadakan latihan bersama, maka mereka latihan bersama pada tanggal … .

A. 28 Januari 2001

B. 29 Januari 2001

C. 30 Januari 2001

D. 31 Januari 2001

Penyelesaian:

4 = 2^2

5 = 5

6 = 2 x 3

KPK = 2^2 x 3 x 5 = 60

Mereka akan bertemau 60 hari setelah 1 Desember 2000, yaitu pada tanggal 30 Januari 2001

4. Di suatu terminatl, bus jurusan M berangkat setiap 15 menit, dan bus ke jurusan N setiap 20 menit. Bila pada pukul 11.30 bus jurusan M dan N berangkat bersama-sama, pada pukul berapa lagi kedua bus tersebut akan berangkat bersama-sama untuk kedua kalinya?

A. pukul 11.45

B. pukul 12.15

C. pukul 12.30

D. pukul 13.30

Pembahasan:

Jawaban C

15 = 3 x 5

20 = 2^2 x 5

KPK = 2^2 x 3 x 5 = 60

Dua bus akan berangkat bersama 60 menit setelah pukul 11.30, yaitu 12.30

5.   Lindri mempunyai 16 jilbab dan 8 bros.lindri ingin membungkus jilbab dan bros tersebut untuk diberikan pada adik-adiknya.Masing-masing bungkusan tersebut berisi sama banyak.Ada berapa bungkus jilbab dan bros tsb?pada masing-masing bungkusan berapa jilbab dan bros yang ada?

Jawab:

Ada 16 jilbab dan 8 bros.

Kita tentukan FPB dari 16 dan 8

16= 2⁴

8=2³

FPB dari 16 dan 8 adalah 2³=8

Jadi,ada 8 bungkus yang isinya sama banyak.

Banyak jilbab dalam masing-masing bungkus adalah 16: 8= 2 jilbab

Banyak bros  dalam masing-masing bungkus adalah 8:8=1

6.   Dani mempunyai 35 permen coklat dan 45 permen strobery.permen tsb akan dimasukan dalam kotak dengan isi yang sama.ada berapa kotak untuk permen tsb?berapa permen coklat dan strobery pada masing-masing kotak?

Jawab:

Tentukan dulu FPB 35 dan 45

35=5.7

45=5.9

FPB (35,45) Adalah 5

Jadi,ada 5 kotak permen yang isinya sama.

Banyaknya permen coklat dalam masing-masing kotak adalah35:5=7 permen coklat

Banyaknya permen strobery dalam masing-masing kotak adalah 45:5= 9 permen strobery

7.   Sari mempunyai 84 pulpen biru dan 56 pulpen hitam.sari ingin membagikannya pada anak sd dan akan dimasukan dalam plastik.berapakah plastik yang dibutuhkan untuk membungkus pulpen tsb?berapa pulpen hitam dan pulpen biru pada setiap plastic?

Jawab:

Tentukan FPB (84,56)

84=2².3.7

56=2³.7

FPB dari 84 dan 56 adalah 2²=4

Jadi,ada 4 plastik yang berisi pulpen biru dan pulpen hitam yang berisi sama banyak.

Banyaknya pulpen biru pada masing-masing plastik  adalah 84:4=21 pulpen biru

Banyaknya pulpen hitam pada masing-masing plastik adlah 56:4=14

8.   Bebi berkunjung ke mall setiap 30 hari sekali.sedangkan Nur berkunjung ke mall setiap 15 hari sekali.setiap berapa hari sekali Bebi dan Nur pergi ke mall bersama-sama?

Jawab:

Tentukan FPB 30 dan 15

30= 2.3.5

15=3.5

FPB dari 30 dan 15 adalah 2.3.5=30

Jadi,Bebi dan Nur akan pergi ke mall bersama-sama setiap 30 hari sekali.

9.   Zul dan Fahry berenang bersama-sama pada tanggal 3 november 2012.Jika,Zul berenang setiap 4 hari sekali dan Fahry setiap 5 hari sekali.Pada tanggal berapa mereka akan berenang bersama-samauntuk kedua kalinya?

Jawab:

Tentukan Kpk 4 dan 5

4=2²

5=5.1

KPK(4,5)=2².5=20

Maka,setiap 20 hari sekali Zul Dan Fahry akan berenang bersama-sama.

Untuk mengetahui pada tanggal berapa mereka akan berenang bersama untuk kedua kalinya setelah tanggal 3 november 2012 adalah 3(nov 2012)+20=23 november 2012

Jadi,Zul dan Fahry akan berenang bersama-sama untuk keduakalinya pada tabggal 23 november 2012

sumber  :1. http://sarydamy.blogspot.co.id/2012/11/contoh-soal-cerita-fpb-dan-kpk.html

               2. https://id.wikipedia.org/wiki/Kelipatan_persekutuan_terkecil

                     3. https://id.wikipedia.org/wiki/faktor_persekutuan_besar